|
|
High order numerical method in modelling and control systems
Veigend, Petr ; Horák, David (oponent) ; Schirrer, Alexander (oponent) ; Šátek, Václav (vedoucí práce)
Control systems are widely used as they enable precise management and regulation of complex processes across various industries. Ordinary differential equations are widely used in control theory because they provide a mathematical framework to describe the dynamic behaviour of control systems. They allow stability analysis, have good performance characteristics and can effectively regulate and optimise systems responses in real-time. The high-order numerical methods are not often used in the real-time context because of the large number of operations. The thesis deals with the numerical solution of ordinary differential equations using a higher-order variable-step variable-order numerical method based on the Taylor series. The method is defined for linear and non-linear problems, and several optimisations to increase its performance are introduced. The positive properties of the method are thoroughly analysed and demonstrated on a set of real-world technical problems. The results show that the Taylor-series-based method can be used in the area of control and regulation and outperforms the state-of-the-art methods in terms of speed and accuracy of the calculation.
|
|
|
Řešení diferenciálních rovnic metodou Laplaceovy transformace
Klimeš, Lubomír ; Tomášek, Petr (oponent) ; Čermák, Jan (vedoucí práce)
Laplaceova transformace je velmi silným matematickým nástrojem pro řešení obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Její využití je široké - lze ji použít na lineární rovnice prvního i vyšších řádů, velmi vhodná je pro řešení diferenciálních rovnic s více pravými stranami (a to i nespojitými) a v neposlední řadě ji lze také aplikovat na soustavy ODR. Laplaceova transformace se intenzivně využívá především v teorii řízení, kde transformace odpovídající diferenciální rovnice regulační soustavy umožňuje analyzovat chování této soustavy, např. reakce (odezvy) systému na vstupní veličinu. Cílem práce bylo uvést základy teorie Laplaceovy transformace a demonstrovat tento silný matematický aparát při řešení konkrétních úloh, včetně využití software pro symbolickou matematiku Maple.
|
|
|
Analýza stiff soustav diferenciálních rovnic
Šátek, Václav ; Dalík, Josef (oponent) ; Horová, Ivana (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Řešení tuhých ("stiff") soustav diferenciálních rovnic patří i v současné době stále mezi komplikované úlohy. Základním problémem je přesná definice tuhých systémů. Jednoznačná definice tuhých systémů stále neexistuje. Problémem je dále i detekce tuhých systémů diferenciálních rovnic. K řešení se v praxi využívají implicitní numerické metody nižších řádů, jejichž oblasti stability jsou relativně velké. Ve své práci se zabývám numerickým řešením obyčejných diferenciálních rovnic především numerickým výpočtem využívajícím metody Taylorovy řady. Analyzuji vznik tuhosti jednotlivých systémů diferenciálních rovnic, ukazuji možnou náhradu některých tuhých systémů ekvivalentními systémy bez tuhosti. Dále zkoumám možnost detekce tuhých systémů pomocí členů explicitní Taylorovy řady, zaměřuji se na stabilitu explicitní a implicitní Taylorovy řady. V závěru práce experimentálně ověřuji možnosti řešení tuhých systémů s využitím implicitní Taylorovy řady, zkoumám vhodnost použití víceslovní aritmetiky a navrhuji vhodný paralelizovatelný algoritmus implicitní Taylorovy řady s rekurentním výpočtem členů a Newtonovou iterační metodou (ITMRN).
|
|
| |
|
|
Lagrangian tracking of the cavitation bubble
Bossio Castro, Alvaro Manuel ; Zatočilová, Jitka (oponent) ; Rudolf, Pavel (vedoucí práce)
In this thesis, the dynamics of an isolated cavitation bubble submerged in a steady flow is studied numerically. A Lagrangian-Eulerian approach is considered, in which properties of the fluid are computed first by means of Eulerian methods (in this study the commercial CFD software Ansys Fluent 19 was used) and the trajectory of the bubble is then computed in a Lagrangian fashion, i.e. the bubble is considered as a small particle moving relative to the fluid, due to the effect of several forces depending on fluid's pressure field, fluid's velocity field and bubble's radius. Bubble's radius dynamics, modeled by Rayleigh-Plesset equation, has a big influence on its kinetics, so a special attention is given to it. Two study cases are considered. The first one, motivated by acoustic cavitation is concerned with the response of the bubble's radius in a static flow under the influence of an oscillatory pressure field, the second one studies the trajectory of the bubble submerged in a fluid passing by a Venturi tube and a sharp-edged orifice plate.
|
|
|
Optimalizace pro inženýrský návrh
Fedorko, Tomáš ; Mauder, Tomáš (oponent) ; Popela, Pavel (vedoucí práce)
Táto bakalárska práca sa zaoberá problematikou optimálneho chladenia tyče vzhľadom k nákladom spojeným s chladením. Popisuje problém vedenia tepla, jeho analytické riešenie, numerické riešenie okrajového problému a jeho implementáciu vo výpočtovom softvéri MATLAB funkciou FMINCON, kde jednotlivé výsledky sú graficky i výpočtovo zhrnuté a interpretované.
|
|
|
Matematické metody v ekonomii
Válka, Vojtěch ; Doubravský, Karel (oponent) ; Novotná, Veronika (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce zpracovává problematiku obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. První část je věnována teorii diferenciálních rovnic. Ve druhé části jsou uvedeny řešené i neřešené příklady na jednotlivé druhy diferenciálních rovnic. Na závěr je uvedeno několik příkladů použití diferenciálních rovnic v ekonomii. Práce má sloužit jako učební materiál pro studenty ekonomických oborů.
|
|
|
Stability and convergence of numerical computations
Sehnalová, Pavla ; Dalík, Josef (oponent) ; Horová, Ivana (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
The aim of this thesis is to analyze the stability and convergence of fundamental numerical methods for solving ordinary differential equations. These include one-step methods such as the classical Euler method, Runge-Kutta methods and the less well known but fast and accurate Taylor series method. We also consider the generalization to multistep methods such as Adams methods and their implementation as predictor-corrector pairs. Furthermore we consider the generalization to multiderivative methods such as Obreshkov method. There is always a choice in predictor-corrector pairs of the so-called mode of the method and in this thesis both PEC and PECE modes are considered. The main goal and the new contribution of the thesis is the use of a special fourth order method consisting of a two-step predictor followed by an one-step corrector, each using second derivative formulae. The mathematical background of historical developments of Nordsieck representation, the algorithm of choosing a variable stepsize or an error estimation are discussed. The current approach adapts well to the multiderivative situation in variable stepsize formulations. Experiments for linear and non-linear problems and the comparison with classical methods are presented.
|
|
|
Paralelní numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic
Nečasová, Gabriela ; Šátek, Václav (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Práce se zabývá tématem paralelního numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic. Práce se nejprve zaměřuje na obyčejné parciální diferenciální rovnice (ODR) a jejich metody řešení pomocí Taylorova polynomu. Další část je věnována parciálním diferenciálním rovnicím (PDR). Jsou zde popsány typy PDR, jedná se o parabolické, hyperbolické a eliptické PDR. Také je vysvětleno, jakým způsobem používat systém TKSL při výpočtu PDR. Další část práce je zaměřena na metody řešení PDR, mezi tyto metody patří dopředná, zpětná a kombinovaná metoda. Bylo vysvětleno, jakým způsobem lze tyto metody řešit v systémech TKSL a Matlab. Dále je diskutována přesnost a časová náročnost výpočtu. Další součástí je paralelní řešení PDR. Díky možnosti převodu PDR na soustavu ODR lze jednotlivé rovnice reprezentovat nezávislými operačními jednotkami, které umožňují paralelní výpočet. Poslední kapitola je věnována implementaci. Aplikace umožňuje vygenerovat soustavy ODR pro systém TKSL, které reprezentují zadanou hyperbolickou PDR.
|
|
|
Kořeny polynomů
Tomšík, Filip ; Kopřiva, Jan (oponent) ; Kunovský, Jiří (vedoucí práce)
Ukolem bakaláařské práce bylo prostudovat řešení algebraických a diferenciálních rovnic. Zabýváme se v ní Bairstowovou metodou, která je pro řešení homogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů nejvhodnější. Implementace Bairstowovy metody a propojení s Gaussovou eliminační metodou. Nakonec jsou provedeny testy na rychlost a přesnost výpočtu.
|
host ::
RSS.